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4-5 第2講 不等式的證明

1．(2018·長春質量檢測(二))(1)如果關于x 的不等式|x ＋1|＋|x －5|≤m 的解集不是空集，求實數m 的取值范圍；

(2)若a ，b 均為正數，求證：a a b b

≥a b b a

．

解：(1)令y ＝|x ＋1|＋|x －5|＝????

?－2x ＋4，x ≤－16，－1＜x ＜52x －4，x ≥5，可知|x ＋1|＋|x －5|≥6，故要使不

等式|x ＋1|＋|x －5|≤m 的解集不是空集，只需m ≥6．

(2)證明：因為a ，b 均為正數，所以要證a a b b

≥a b b a

，只需證a a －b b b －a

≥1，

即證(a

b

)

a －b

≥1，當a ≥b 時，a －b ≥0，a b ≥1，可得(a b

)

a －b

≥1；當a ＜b 時，a －b ＜0，0＜

a b ＜1，可得(a b )a －b ＞1，故a ，b 均為正數時，(a b

)a －b ≥1，當且僅當a ＝b 時等號成立，故a a b b ≥a b b a

成立．

2．已知實數a ，b ，c ，d 滿足a >b >c >d ，求證：1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9

a －d

． 證明： 法一：因為? ??

． 證明： 法一：因為? ??

?

?1a －b ＋1b －c ＋1c －d (a －d )

＝?

??

?

?1a －b ＋1b －c ＋1c －d [(a －b )＋(b －c )＋(c －d )]

≥3

3

1a －b ·1b －c ·1c －d

·33（a －b ）（b －c ）（c －d ）＝9， 當且僅當a －b ＝b －c ＝c －d 時取等號， 所以

1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d

． 法二：因為? ??

?

?1a －b ＋1b －c ＋1c －d (a －d )

＝?

??

?

?1a －b ＋1b －c ＋1c －d [(a －b )＋(b －c )＋(c －d )]

≥?

?

?

?? 1

a －b

·a －b ＋1

b －c

·b －c ＋1c －d ·c －d 2

＝9， 當且僅當a －b ＝b －c ＝c －d 時取等號，