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4-5 第2講 不等式的證明
1.(2018·長春質量檢測(二))(1)如果關于x 的不等式|x +1|+|x -5|≤m 的解集不是空集,求實數m 的取值范圍;
(2)若a ,b 均為正數,求證:a a b b
≥a b b a
.
解:(1)令y =|x +1|+|x -5|=????
?-2x +4,x ≤-16,-1<x <52x -4,x ≥5,可知|x +1|+|x -5|≥6,故要使不
等式|x +1|+|x -5|≤m 的解集不是空集,只需m ≥6.
(2)證明:因為a ,b 均為正數,所以要證a a b b
≥a b b a
,只需證a a -b b b -a
≥1,
即證(a
b
)
a -b
≥1,當a ≥b 時,a -b ≥0,a b ≥1,可得(a b
)
a -b
≥1;當a <b 時,a -b <0,0<
a b <1,可得(a b )a -b >1,故a ,b 均為正數時,(a b
)a -b ≥1,當且僅當a =b 時等號成立,故a a b b ≥a b b a
成立.
2.已知實數a ,b ,c ,d 滿足a >b >c >d ,求證:1a -b +1b -c +1c -d ≥9
a -d
. 證明: 法一:因為? ??. 證明: 法一:因為? ??
?
?1a -b +1b -c +1c -d (a -d )
=?
??
?
?1a -b +1b -c +1c -d [(a -b )+(b -c )+(c -d )]
≥3
3
1a -b ·1b -c ·1c -d
·33(a -b )(b -c )(c -d )=9, 當且僅當a -b =b -c =c -d 時取等號, 所以
1a -b +1b -c +1c -d ≥9a -d
. 法二:因為? ??
?
?1a -b +1b -c +1c -d (a -d )
=?
??
?
?1a -b +1b -c +1c -d [(a -b )+(b -c )+(c -d )]
≥?
?
?
?? 1
a -b
·a -b +1
b -c
·b -c +1c -d ·c -d 2
=9, 當且僅當a -b =b -c =c -d 時取等號,