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「精品」高考數學一輪復習第12章選考部分4-5第2講不等式的證明分層演練文

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4-5 第2講 不等式的證明

1.(2018·長春質量檢測(二))(1)如果關于x 的不等式|x +1|+|x -5|≤m 的解集不是空集,求實數m 的取值范圍;

(2)若a ,b 均為正數,求證:a a b b

≥a b b a

解:(1)令y =|x +1|+|x -5|=????

?-2x +4,x ≤-16,-1<x <52x -4,x ≥5,可知|x +1|+|x -5|≥6,故要使不

等式|x +1|+|x -5|≤m 的解集不是空集,只需m ≥6.

(2)證明:因為a ,b 均為正數,所以要證a a b b

≥a b b a

,只需證a a -b b b -a

≥1,

即證(a

b

)

a -b

≥1,當a ≥b 時,a -b ≥0,a b ≥1,可得(a b

)

a -b

≥1;當a <b 時,a -b <0,0<

a b <1,可得(a b )a -b >1,故a ,b 均為正數時,(a b

)a -b ≥1,當且僅當a =b 時等號成立,故a a b b ≥a b b a

成立.

2.已知實數a ,b ,c ,d 滿足a >b >c >d ,求證:1a -b +1b -c +1c -d ≥9

a -d

. 證明:
法一:因為? ??

. 證明: 法一:因為? ??

?

?1a -b +1b -c +1c -d (a -d )

=?

??

?

?1a -b +1b -c +1c -d [(a -b )+(b -c )+(c -d )]

≥3

3

1a -b ·1b -c ·1c -d

·33(a -b )(b -c )(c -d )=9, 當且僅當a -b =b -c =c -d 時取等號, 所以

1a -b +1b -c +1c -d ≥9a -d

. 法二:因為? ??

?

?1a -b +1b -c +1c -d (a -d )

=?

??

?

?1a -b +1b -c +1c -d [(a -b )+(b -c )+(c -d )]

≥?

?

?

?? 1

a -b

·a -b +1

b -c

·b -c +1c -d ·c -d 2

=9, 當且僅當a -b =b -c =c -d 時取等號,

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