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「精品」高考數學一輪復習第12章鴨部分4_5第3講柯西不等式分層演練文

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1 4-5 第3講 柯西不等式

「精品」高考數學一輪復習第12章鴨部分4_5第3講柯西不等式分層演練文

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1.設x ,y ,z ∈R ,2x -y -2z =6,試求x 2+y 2+z 2

的最小值.

解:考慮以下兩組向量u =(2,-1,-2),v =(x ,y ,z ),

根據柯西不等式(u ·v )2≤|u |2·|v |2,

得[2x +(-1)y +(-2)z ]2≤[22+(-1)2+(-2)2](x 2+y 2+z 2),

即(2x -y -2z )2≤9(x 2+y 2+z 2),

將2x -y -2z =6代入其中,

得36≤9(x 2+y 2+z 2),

即x 2+y 2+z 2≥4,

故x 2+y 2+z 2的最小值為4.

2.設x ,y ,z ∈R ,x 2+y 2+z 2=25,試求x -2y +2z 的最大值與最小值.

解:根據柯西不等式,有(1·x -2·y +2·z )2≤[12+(-2)2+22](x 2+y 2+z 2), 即(x -2y +2z )2≤9×25,所以-15≤x -2y +2z ≤15,

故x -2y +2z 的最大值為15,最小值為-15. 3.已知大于1的正數x ,y ,z 滿足x +y +z =33.求證:x 2x +2y +3z +y 2y +2z +3x +z 2

z +2x +3y ≥32

. 證明:由柯西不等式及
題意得,

. 證明:由柯西不等式及題意得,

? ??

??x 2x +2y +3z +y 2y +2z +3x +z 2

z +2x +3y ·[(x +2y +3z )+(y +2z +3x )+(z +2x +3y )]≥(x +y +z )2=27.

又(x +2y +3z )+(y +2z +3x )+(z +2x +3y )=6(x +y +z )=183, 所以x 2x +2y +3z +y 2y +2z +3x +z 2z +2x +3y ≥27183=32

, 當且僅當x =y =z =3時,等號成立.

4.(2018·湘中名校聯考)已知關于x 的不等式|x +a |<b 的解集為{x |2<x <4}.

(1)求實數a ,b 的值;

(2)求at +12+3bt 的最大值.

解:(1)由|x +a |<b ,可得-b -a <x <b -a ,

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